B - First Second
問題
$n$ 個の文字列 $\{ s_i \}$ が与えられる。
以下の操作を $s_i$ に好きな回数だけ繰り返すことで $s_j$ と一致させられるような $i \neq j$ の個数を求めよ。
制約
- $2 \leq n \leq 2 \times 10^5$
- $s_i \neq s_j$
- $\sum |s_i| \leq 10^6$
考察
まず後で考えやすいように、 $s_i$ を全て反転させて考える。すると操作は「末尾 2 文字のうち片方を取り除く」となる。
条件の言い換え
観察してみると、「上述の操作を $k$ 回行う」という操作は「末尾 $k + 1$ 文字のうち 1 つ以外を全て消す」という操作と同値であることが分かる。
$s$ の末尾の文字を $c$ 、$s$ の末尾から $c$ を取り除いたものを $s'$ とおく。
すると「文字列 $s$ を $t$ に一致させられる」という条件は、以下 2 つを両方満たすことと同値となる。
- $s'$ は $t$ の接頭辞である。つまりある文字列 $t'$ によって $t = s' t'$ と表わせる。
- 上で定めた文字列 $t'$ に文字 $c$ が含まれる。
数え上げ
各 $i$ に対して、 $s_i$ から $s_j$ に変換できるような $j$ の個数を高速に数えたい。
条件 1 から「 $s_i'$ を接頭辞に持つ $s_j$ 」を数えたいので、 Trie 木を使う。 Trie 木において「 $s_i'$ は $s_j$ の接頭辞」という条件は、「 $s_i'$ に対応するノードは $s_j$ に対応するノードの親である」と言い換えられる。よって $s_i'$ に対応するノードの子を数えればいい。
さらに条件 2 に対処するために、 Trie 木の各ノードに対して「文字 $c$ を含むような子孫の個数」というものを計算する。
これにより、 $c_i'$ を含む文字列に対応する子を定数時間で数えられる。
実装例
提出 #15793676 - AtCoder Grand Contest 047
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#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <array>
#include <string>
struct Trie {
struct Node {
int c;
std::array<int, 26> nxt; // 子のindex
std::array<int, 26> cnt; // 文字cを含むような子孫の数
int sz; // 部分木のサイズ
Node(int c) : c(c), sz(0) {
nxt.fill(-1);
cnt.fill(0);
}
};
std::vector<Node> nodes;
Trie() { nodes.emplace_back(-1); }
void add(const std::string& s) {
int pos = 0;
for (char c : s) {
int ci = c - 'a';
int npos = nodes[pos].nxt[ci];
if (npos == -1) {
npos = nodes.size();
nodes[pos].nxt[ci] = npos;
nodes.emplace_back(ci);
}
pos = npos;
}
++nodes[pos].sz;
}
int find(const std::string& s) const {
int pos = 0;
for (char c : s) {
int ci = c - 'a';
pos = nodes[pos].nxt[ci];
}
return pos;
}
// cntを埋める
void fillcnt() {
for (int pos = (int)nodes.size() - 1; pos >= 0; --pos) {
auto& node = nodes[pos];
for (int c = 0; c < 26; ++c) {
int npos = node.nxt[c];
if (npos == -1) continue;
const auto& cnode = nodes[npos];
node.sz += cnode.sz;
for (int d = 0; d < 26; ++d) {
node.cnt[d] += cnode.cnt[d];
}
}
// 全ての子孫はcを含む
if (node.c != -1) node.cnt[node.c] = node.sz;
}
}
};
using lint = long long;
void solve() {
int n;
std::cin >> n;
std::vector<std::string> ss(n);
for (auto& s : ss) {
std::cin >> s;
std::reverse(s.begin(), s.end());
}
Trie trie;
for (const auto& s : ss) trie.add(s);
trie.fillcnt();
lint ans = 0;
for (auto s : ss) {
// 末尾とそれ以外に分離
int last = s.back() - 'a';
s.pop_back();
int pos = trie.find(s);
// posの子でlastを含むものを数え上げ
for (int ci = 0; ci < 26; ++ci) {
int npos = trie.nodes[pos].nxt[ci];
if (npos == -1) continue;
ans += trie.nodes[npos].cnt[last];
// 自分自身は除く
if (ci == last) --ans;
}
}
std::cout << ans << "\n";
}
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